n² + 3n - 18 est-il premier ? - Corrigé

Énoncé

Soit \(n \in \mathbb{N}\) supérieur ou égal à \(3\) .

Existe-t-il des valeurs de \(n\) telles que le nombre \(N=n^2+3n-18\) soit un nombre premier ?

Solution

Le discriminant du polynôme \(x^2+3x-18\) est \(\Delta=3^2-4 \times 1 \times (-18)=81\) .

Comme \(\Delta=81>0\) , ce polynôme possède deux racines réelles données par
\(\begin{align*}x_1=\frac{-3-\sqrt{81}}{2 \times 1}=\frac{-3-9}{2}=\frac{-12}{2}=-6\end{align*}\)  
et  \(\begin{align*}x_2=\frac{-3+\sqrt{81}}{2 \times 1}=\frac{-3+9}{2}=\frac{6}{2}=3\end{align*}\)  
et l'on en déduit que \(N=n^2+3n-18=(n+6)(n-3)\) .

Ainsi :

• si \(n=3\) , alors \(N=0\) n'est pas premier ;
• si \(n=4\) , alors \(N=(4+6)(4-3)=10 \times 1=10\) n'est pas premier ;
• si \(n \geqslant 5\) , alors \(N=(n+6)(n-3)\) est le produit de deux entiers naturels supérieurs ou égaux à \(2\) , donc n'est pas premier.

Finalement, il n'existe pas d'entier \(n\) supérieur ou égal à \(3\) tel que \(N\) soit premier.